Sulla AI che “fa matematica”.

June 22, 2026

Sta iniziando a nascere un grosso hype riguardo al modello di OpenAI che, a quanto pare, avrebbe dimostrato falsa una congettura rimasta aperta per decenni nel mondo della matematica: la congettura di Erdős legata al problema delle distanze unitarie, in geometria discreta. E, come prevedibile, vedo già sorgere, sui soliti social, l’idea bizzarra secondo cui adesso, in matematica, “non servono più i matematici”, perché tanto farà tutto l’AI.

Andrò nel merito alla fine. Per ora, occupiamoci del metodo.

Quello a cui stiamo assistendo è, effettivamente, la solita americanata. Gli Stati Uniti hanno una grandissima tradizione nel fare questo: quando non dominano una disciplina, spesso rispondono inventandosi un altro campo di gioco nel quale dichiararsi comunque campioni.

Per anni, quando li si interrogava sul fatto che nel rugby fossero mediocri — non inesistenti, ma certo lontani dall’essere una potenza — la risposta implicita era sempre la stessa: loro hanno il baseball, il football americano, magari anche la palla avvelenata con pistola calibro .45, e sono campioni del mondo in quello.

Il punto non è che gli Stati Uniti non pratichino il rugby: hanno partecipato a diversi Mondiali. Il punto è che, in termini di risultati, non sono mai stati una superpotenza. La loro miglior prestazione ai Mondiali è stata vincere una singola partita in alcune edizioni, e hanno persino mancato la qualificazione al Mondiale 2023. L’Italia, paese culturalmente molto più lontano dal rugby rispetto al mondo anglosassone, ha invece una presenza molto più stabile nella competizione internazionale.

Questo atteggiamento — spostare il campo di gara appena il campo di gara non conviene più — è stato per molto tempo una delle loro strategie principali per non ammettere la propria mediocrità in alcuni sport globali.

Che cosa ha cambiato le cose? Il basket. Perché a un certo punto hanno cominciato a prenderle, o quantomeno a rischiare seriamente di prenderle, da nazioni che non rientravano nel loro immaginario imperiale: prima l’Unione Sovietica e la Jugoslavia, poi Lituania, Serbia, Spagna, Argentina e altre scuole cestistiche europee o sudamericane. Dopo il Dream Team del 1992 sembrava che il problema fosse chiuso per sempre. Invece no: il mondo aveva imparato a giocare.

E così hanno deciso che sì, forse potevano anche abbassarsi al nostro livello e giocare a calcio. Nel quale, però, non sono decisamente una superpotenza. Ma loro hanno il baseball. Dove sono campioni. O meglio: dove per moltissimo tempo hanno potuto raccontarsi come campioni del mondo perché, di fatto, il loro campionato nazionale si chiama “World Series” anche quando il mondo, quello vero, c’entra pochissimo.

E, per quanto vi possa sembrare strano, questa cosa è successa anche nella scienza e nella tecnologia. Gli esempi non mancano.

Se fate presente a un americano che gli Stati Uniti hanno meno treni della Cina, meno treni dell’Europa e, da quando il Marocco si è fatto la sua alta velocità, perfino meno alta velocità ferroviaria dell’Africa, per molto tempo la risposta è stata: Hyperloop.

Hyperloop: un progetto che, per fortuna, oggi sembra quasi dimenticato. Un tubo a bassa pressione nel quale sparare capsule con passeggeri dentro, venduto come la morte definitiva del treno. Nella pratica, un’idea piena di problemi ingegneristici, di sicurezza, di evacuazione, di costi e di manutenzione. Cioè esattamente il tipo di cosa che può funzionare benissimo in una presentazione PowerPoint, molto meno quando bisogna trasportare persone vive.

“Voi non avete l’alta velocità.”

“Ma noi abbiamo Hyperloop: nessuno userà più i vostri treni.”

Altro esempio? Anni fa il resto del mondo stava cominciando a lavorare seriamente su due famiglie di materiali molto concrete, finite già in parecchie applicazioni e destinate a finirci sempre di più: proteine e ceramiche.

“Siete indietro su proteine e ceramiche.”

“Ma noi abbiamo il grafene: nessuno userà mai proteine e materiali ceramici.”

È molto comune, cioè, che gli americani, quando rimangono indietro in un settore, reagiscano inventando un hype. Il messaggio è sempre lo stesso: “È inutile che tu creda di essere più avanti. Il vostro settore è destinato a morire grazie al mio [inserire qui l’hype del giorno].”

Cosa stanno perdendo, questa volta? Quale gara?

Quella sulla matematica.

Paesi come Cina, Singapore, Corea, Giappone e India producono enormi quantità di studenti tecnici e scientifici. E quando si misurano le abilità matematiche degli studenti, gli Stati Uniti non fanno esattamente una figura imperiale: nel PISA 2022, per esempio, gli studenti americani hanno ottenuto 465 punti in matematica, sotto la media OCSE di 472. Non un disastro assoluto, ma nemmeno il risultato di una superpotenza educativa.

Certo, poi ci sono quei venti o trentamila studenti che entrano nella Ivy League, a Stanford, al MIT o a Caltech. Ma il problema, quando si parla di sistema educativo, è che “pro capite” significa “pro capite”. Non “abbiamo alcune università eccellenti, quindi il resto del paese può anche non saper fare una proporzione”.

Siccome stanno perdendo “big time”, come direbbero loro, guarda caso arriva il loro baseball: l’AI.

“La scuola americana fa schifo sulla matematica.” “Ma noi abbiamo l’AI, e nessuno userà più altro.”

Questa cosa era prevedibile. Guarda caso, proprio adesso la matematica non sarebbe più importante perché tanto c’è l’AI. Dove l’America vince, ma solo finché gioca da sola.

Yawn.

Disambiguo, prima che qualcuno faccia finta di non capire.

Sto dicendo che il grafene sia una cagata? No. Il grafene è un materiale affascinante, con proprietà notevolissime. Sto dicendo che non rimpiazzerà né le proteine né i materiali ceramici moderni. Sono mondi diversi, con applicazioni diverse, vincoli diversi e filiere diverse.

Sto dicendo che Hyperloop sia una cagata? Sì. E nemmeno strapagando alcuni dei migliori ingegneri disponibili si è riusciti a salvarlo. A un certo punto la realtà fisica, economica e infrastrutturale ha presentato il conto, come fa sempre quando il PowerPoint finisce e cominciano i bulloni.

Sto dicendo che l’AI sia una cagata? No. Gli LLM sono uno strumento impressionante. E sono efficaci. Chiunque li usi seriamente lo sa.

Quella che contesto è un’altra cosa: l’abitudine della mediocrità americana a inventarsi il solito gioco nel quale vincono solo loro, perché ci giocano solo loro, al fine di mostrare che il gioco nel quale stai vincendo tu non conta niente e non importa a nessuno.

“Voi avete i treni? Noi abbiamo Hyperloop.” “Voi avete materiali ceramici e biomateriali? Noi abbiamo il grafene.” “Voi avete studenti che sanno la matematica? Noi abbiamo l’AI.”

Il punto non è lo strumento. Il punto è la funzione propagandistica dello strumento. Serve a spostare il campo di gara. Serve a dire che la disciplina nella quale sei indietro è ormai superata, perché sta arrivando la cosa nuova nella quale, guarda caso, sei tu a raccontarti come inevitabile vincitore.

Spoiler: proprio per vincere la corsa all’AI, la Cina non sta smettendo di investire nella matematica. Sta facendo il contrario. Nel quadro del nuovo piano quinquennale, Pechino continua a puntare su AI, ricerca di base, formazione dei talenti scientifici e autosufficienza tecnologica. Cioè esattamente su quelle fondamenta che dovrebbero diventare inutili, se fosse vero che “tanto ormai fa tutto l’AI”.

Ops.

Secondo punto: l’America contemporanea ha un rapporto sempre più malato con le persone istruite.

Parlano spesso di odio sociale contro i ricchi, ma sembrano non notare lo spaventoso odio che una parte crescente della loro cultura politica prova, quasi istintivamente, verso le persone istruite. Non verso questa o quella élite in particolare: proprio verso chiunque suoni istruito, tecnico, intellettuale, competente.

Finora sono riusciti a piegare quasi tutte le discipline. Tranne due: la matematica e le cosiddette liberal arts.

Contro le liberal arts è possibile combattere quella che chiamano “battaglia culturale”, pompando soldi nell’industria della stupidità e trasformando ogni discussione in una rissa identitaria. Contro la fisica, la chimica, la biologia e la ricerca medica è possibile intervenire manipolando l’assegnazione dei fondi, decidendo quali ricerche finanziare e quali lasciare morire di fame.

Ma la matematica è un catastrofico problema culturale per loro.

Prima di tutto, appunto, culturale.

In particolare, gli americani hanno due problemi con i matematici.

Il primo è che i matematici non hanno bisogno di tanti fondi quanto i fisici sperimentali, i chimici o i biologi. Servono stipendi, tempo, biblioteche, seminari, studenti, conferenze, lavagne, computer e comunità scientifica. Ma non servono acceleratori di particelle, laboratori biologici, reagenti, clean room, grandi apparati sperimentali o infrastrutture miliardarie. Questo rende la matematica molto meno ricattabile attraverso il rubinetto dei fondi. Il secondo problema è ancora più grave: i matematici si ostinano a dire che, se una cosa è dimostrata falsa e tu dici il contrario, allora stai dicendo cazzate.

Non accettano molto il dibattito performativo. Se dite che la Terra è piatta, migliaia di fisici, divulgatori e debunker si metteranno a discutere con voi per provare che è falso. Se dite che la congettura di Langlands geometrica è falsa, il matematico medio alza la testa, vi guarda, scuote la testa e torna al lavoro.

Ha cose più importanti cui pensare. ~~E poi, diciamolo: questi babbani fanno anche un pochino pena.~~

Per la cronaca: fino a poco fa si parlava ancora di Geometric Langlands Conjecture. Nel 2024 Dennis Gaitsgory, Sam Raskin e un gruppo di altri matematici hanno prodotto una dimostrazione in cinque lavori, per un totale di oltre 800 pagine. Il risultato è considerato una delle grandi svolte recenti della matematica, dentro un programma che prova a collegare aree vastissime e apparentemente lontane tra loro. Nel 2025 Gaitsgory ha ricevuto il Breakthrough Prize in Mathematics anche per il suo ruolo centrale nella dimostrazione della congettura di Langlands geometrica in caratteristica zero.

La strategia americana usata finora per combattere la scienza è stata questa: invitare un fisico e un idiota e, con la scusa di dare a tutti il diritto di parlare, creare l’impressione che l’idiota ne sappia quanto il fisico. Coi fisici funziona più o meno così.

La Terra è piatta.
Blablablabla, blablablabla, blablabla.
È ancora più piatta.
Blablablabla, blablablabla, blablabla.
È piatta e mia moglie ha pure dato la cera su Bratislava.
Blablablabla, blablablabla, blablabla.

Con i matematici, però, non funziona.

Innanzitutto, gran parte dei problemi matematici è semplicemente al di là della portata dell’idiota medio. Ma anche se provassero a fare una cosa del genere, con ogni probabilità nessun matematico si presenterebbe.

E se si presentasse, sarebbe anche peggio. Perché si limiterebbe a ripetere la stessa cosa.

Il teorema di Fermat dice il falso, bro.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.
Ma blablabla, blabla, blabla.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.
Ma blablabla, blabla, blabla, blablabla, blabla, blabla.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.
Ma la Bibbia.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.
Ma Dio.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.
Ma l’America.
Il teorema di Fermat è dimostrato. Quindi, se dici il contrario, stai dicendo cazzate.Punto.

Quindi il problema è questo: il metodo televisivo del “mettiamo a confronto l’esperto e il cretino” funziona bene quando si può simulare un dibattito. Ma in matematica il dibattito finisce quando finisce la dimostrazione. Come animale televisivo, il matematico si presta poco e male.

E lo so che a voi sembra strano, perché Odifreddi in TV ci va. Ma tenete conto di un dettaglio: nessuno, in sua presenza, ha ancora provato seriamente a contestare un teorema dimostrato. Se ci fate caso, parla quasi sempre di altro. Se ne guardano bene, probabilmente.

Puoi non capirla. Puoi non leggerla. Puoi non avere gli strumenti per seguirla. Puoi anche urlare che secondo te non vale. Ma non stai “portando un altro punto di vista”.

Stai solo dicendo cazzate.

Questo odio per le persone troppo istruite, unito a questo atteggiamento, fa dei matematici una delle categorie più odiate, subito dopo i medici. Solo che, con i medici, puoi mettere Robert F. Kennedy Jr. a capo del Department of Health and Human Services, trasformare la sanità pubblica in un campo di battaglia ideologico e zittire la ricerca minacciando di togliere fondi. Nel 2025 Kennedy è stato confermato dal Senato americano come Segretario alla Salute con un voto di 52 a 48: un segnale politico abbastanza chiaro di quale rapporto abbia una parte dell’America con la medicina, gli esperti e il concetto stesso di competenza.

Il problema, con i matematici, è che la media delle persone non capisce neppure i problemi della matematica moderna. Quindi, anche se eleggessi o nominassi un matematico MAGA che disprezza il teorema di Fermat, non cambierebbe nulla.

Il teorema di Fermat è dimostrato.

Fine.

Puoi odiarlo. Puoi dire che è elitario. Puoi sostenere che non rappresenta l’America vera. Puoi convocare una commissione parlamentare, farci sopra una diretta televisiva, chiamare tre opinionisti, un pastore evangelico, un influencer e un tizio col cappello rosso.

Ma il teorema di Fermat resta dimostrato.

E se dici il contrario, stai dicendo cazzate.

E il fatto che occorra una certa preparazione solo per capire il problema — cioè l’argomento stesso del dibattito — fa dei matematici la categoria di intellettuali più odiata d’America.

Era ovvio che, prima o poi, sarebbero arrivati quelli di OpenAI: grazie al potere dei soldi, delle GPU e del marketing, hanno dimostrato falsa la congettura di Erdős.

Negli USA, la cosa viene già contrabbandata, in pompa magna, come la prova che in futuro non ci sarà più bisogno di matematici, perché l’AI farà tutto e risolverà i problemi da sola.

Peccato che vi servano i matematici anche solo per porli, i problemi.

Ma soprattutto, vi servono i matematici per fare l’AI. Sono stati i matematici a fare l’AI, non viceversa.

Ops.

Finito col metodo, vorrei andare nel merito.

I matematici non hanno mai avuto problemi con il computing in sé. I problemi, al massimo, nascono quando usi metodi matematici del cazzo. È chiaro che, se la gente mi chiede storage immensi per calcolare delle traiettorie usando delle hamiltoniane quando sarebbe bastato il PC di casa usando delle hermitiane, allora sì: il problema non è il computer. Il problema è che avete scelto il martello pneumatico per piantare una puntina da disegno.

Ma non ricordo di aver mai visto una vera opposizione culturale dei matematici contro il calcolo numerico. Anzi: storicamente, i matematici sono sempre stati tra quelli che chiedevano, nel mondo delle applicazioni, computer più grandi e più veloci.

Del resto, l’informatica teorica nasce anche da gente come Alan Turing e John von Neumann, non esattamente due influencer usciti da un bootcamp. Il metodo Monte Carlo, oggi onnipresente nelle simulazioni, nasce a Los Alamos con Stanislaw Ulam e viene sviluppato anche da von Neumann, Nicholas Metropolis e altri. E l’analisi numerica, l’ottimizzazione, la crittografia, la teoria dell’informazione e gli algoritmi non sono piovuti dal cielo: sono matematica applicata che ha imparato a girare su silicio.

Certo, altri sono ancora più esosi. I fisici prima di tutto; poi ancora i fisici; e infine quelle ninfomani insaziabili del potere di calcolo che sono i chimico-fisici.

Ma non scherzano nemmeno i biologi computazionali: Craig Venter e Celera hanno costruito buona parte della corsa al genoma umano sullo shotgun sequencing e sulla bioinformatica pesante, con miliardi di basi da assemblare e confrontare.

E Henry Markram, con il Blue Brain Project prima e lo Human Brain Project poi, ha provato a trasformare la simulazione del cervello in un problema da supercomputer europeo. Insomma: il problema dei matematici non è mai stato “il computer”, o “aborriamo il calcolo numerico , vogliamo essere noi a fare i conti a mano”.

Secondo: anche nella prova dei teoremi, i dimostratori automatici e i proof assistant esistono da mo’.

E qui conviene distinguere, perché non sono esattamente la stessa cosa.

Da un lato ci sono i dimostratori automatici: sistemi ai quali dai assiomi e una congettura, e loro provano a cercare una dimostrazione da soli, spesso in logica del primo ordine, risoluzione, superposizione, riscrittura, SMT e tecniche simili. Qui trovi roba come Otter, sviluppato da William McCune negli anni Ottanta; SPASS, nato in Germania intorno al gruppo di Christoph Weidenbach e già attivo negli anni Novanta; E, di Stephan Schulz, descritto nel 2002 come un prover per logica del primo ordine con uguaglianza; Vampire, sviluppato da Andrei Voronkov e altri a partire dagli anni Novanta; e, andando ancora più indietro e più a est, il metodo di Wu, del matematico cinese Wu Wenjun, per la dimostrazione automatica di teoremi geometrici, già dagli anni Settanta.

Dall’altro lato ci sono i proof assistant, o interactive theorem prover: sistemi nei quali l’essere umano guida la costruzione della dimostrazione, mentre il computer controlla formalmente che ogni passo sia corretto. Qui la storia è ancora più lunga. Automath, di Nicolaas de Bruijn, risale agli anni Sessanta. Mizar, di Andrzej Trybulec, nasce nel 1973. HOL arriva dalla tradizione di Mike Gordon a Cambridge negli anni Ottanta. Isabelle, sviluppato da Lawrence Paulson dal 1986 e poi fortemente legato anche alla Technische Universität München, è uno dei grandi ambienti storici. Coq, oggi rinominato Rocq, nasce all’INRIA alla fine degli anni Ottanta, intorno a Thierry Coquand, Gérard Huet e Christine Paulin-Mohring. PVS, sviluppato a SRI nei primi anni Novanta, combina linguaggio di specifica, type checker e theorem prover. ACL2, di Matt Kaufmann e J Strother Moore, viene dagli anni Novanta ed è molto usato nella verifica di hardware e software. Matita, sviluppato dal gruppo HELM dell’Università di Bologna, è legato in particolare ai nomi di Andrea Asperti, Claudio Sacerdoti Coen, Enrico Tassi, Wilmer Ricciotti e Stefano Zacchiroli. Già nel 2007 Asperti, Sacerdoti Coen, Tassi e Zacchiroli pubblicavano lavori sull’interazione utente in Matita, e nel 2011 il sistema veniva descritto come un interactive theorem prover maturo, sviluppato dal team HELM bolognese. arriva nei primi anni Duemila. Lean, di Leonardo de Moura, parte nel 2013, con la prima release nel 2014.

E non è una storia solo americana. Anche la Germania ha avuto un ruolo enorme con sistemi come SPASS, E, Isabelle/TUM e anche KeY, nato nell’ambiente di Karlsruhe per la verifica formale di programmi Java. La Cina ha una tradizione importante già con Wu Wenjun e il metodo di Wu; più di recente compaiono sistemi come auto2, di Bohua Zhan, implementato in Isabelle/HOL. L’India compare anche nelle linee recenti di neural theorem proving: per esempio HOList, del 2019, ha tra gli autori Kshitij Bansal e nasce come ambiente di machine learning per il theorem proving in HOL Light.

Quindi no: l’idea di usare una macchina per assistere, controllare, cercare o formalizzare dimostrazioni matematiche non nasce con OpenAI, né con gli LLM, né con il marketing della Silicon Valley. È una storia lunga decenni, costruita da logici, matematici e informatici teorici, spesso molto prima che qualcuno pensasse di venderla come “AI che sostituisce i matematici”.

Nessuno ha mai avuto paura di perdere il lavoro per questa ragione.

Finito col metodo, vorrei andare nel merito.

La congettura di Erdős riguarda il cosiddetto problema delle distanze unitarie. Poniamoci quindi un problema che, ovviamente, a tutti noi capita tutti i giorni.

La donna delle pulizie di un supermercato ha appena lavato i pavimenti, bagnandoli. Per passare, potete solo saltare da un cerchietto asciutto sul suolo a un altro cerchietto asciutto. Oppure potete usare un asse che collega i cerchietti, ma a una condizione: gli assi sono tutti lunghi uguali.

La domanda diventa: come mettiamo i cerchietti, e quanti assi riusciamo a stendere tra coppie di cerchietti, se ogni asse deve avere esattamente la stessa lunghezza?

In termini matematici: dati n punti nel piano, qual è il massimo numero di coppie di punti che possono trovarsi a distanza esattamente uno? Erdős pose il problema nel 1946, e per decenni si è pensato che le costruzioni migliori fossero, grosso modo, quelle a reticolo quadrato.

Il risultato annunciato da OpenAI dice invece che esistono configurazioni migliori: non risolvono tutto il problema, ma smentiscono quella congettura sulla presunta ottimalità del reticolo.

E sì, poi si può complicare il gioco: si può chiedere che cosa succeda in dimensione 3, in dimensione 4, o in generale in dimensione d. Ma già nel piano, cioè sul pavimento del supermercato, la faccenda era abbastanza bastarda da resistere per circa ottant’anni.

Quello strano sorrisetto della donna delle pulizie, che sembrava quasi felice quando passavate noncuranti sul pavimento bagnato, era dovuto proprio a questo: loro sapevano. Mamma, invece, quando vi tirava una ciabatta sui denti, credeva ancora a Erdős. Con la sola eccezione delle mamme che, di mestiere, facevano la donna delle pulizie.

Tornando a bomba: è inutile dire che “i matematici pensavano il contrario, ma OpenAI ha mostrato che sbagliavano”.

Non esisteva una dimostrazione definitiva. Quindi, ai fini pratici — memori della ciabatta di mamma — si usava la soluzione migliore che si conosceva: il reticolo quadrato.

Adesso si sa che il reticolo quadrato non è la configurazione migliore. Esiste una costruzione migliore, più lisergica, proposta dal modello di OpenAI e poi verificata da matematici umani.

Però attenzione: il problema non è risolto.

Quella è una soluzione migliore rispetto alla credenza precedente. Non è dimostrato che sia la soluzione migliore possibile.

Quindi, se entrate nel supermercato e trovate bagnato per terra, per lasciare meno tracce possibile dovete camminare cosi':

Che, ovviamente, per la siura milanese con il tacco da 12 è un gioco da ragazzi.

Ripeto: è una soluzione migliore rispetto al reticolo quadrato, ma non è la migliore. O meglio: non sappiamo ancora se lo sia.

Quindi sì, ha prodotto conoscenza: ha dimostrato che una vecchia convinzione, mai dimostrata, era falsa. Ma non ha chiuso il problema. Non sappiamo ancora quale sia la configurazione ottimale, né sappiamo ancora come fare davvero contenta la tipa del supermercato.

E, peggio ancora, mamma.

Come chiudo il pezzo? Uhm.

Diciamo così.

Cari americani: mediamente fate schifo in matematica. La gran parte di voi, se confrontata con gli studenti degli altri paesi sviluppati, fa schifo.

Invece di inventarvi il solito sport nel quale vincete solo voi perché giocate solo voi, provate a farvene una ragione.

E magari, già che ci siete, provate anche a studiare matematica.

Ops.

Facciamoci una risata.

Trasmissione americana. Palco. Pubblico.

Ma voi lo conoscete il paradosso dei cataloghi di Russell?
Certo. Ma se il catalogo è infinito exacting(1), riflette copie strutturali di sé stesso.
Ma Russell ha detto che...
E se è ultraexacting, contiene anche l’informazione su come produrle.
Ma il catalogo dei cataloghi che non contengono sé stessi...
Quello è un problema da cataloghi dei babbani.
Ma Russell...
Colgo l'occasione per ricordarti che se e' ultra-exacting, contiene anche tua madre.
Ehi, ma come...
Nuda.

Ta-pum. Pzzzzz.

(1) Juan P. Aguilera, Joan Bagaria e Philipp Lücke, Large cardinals, structural reflection, and the HOD conjecture

Uriel Fanelli

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