Sui numeri “ritardatari”. (Ancora?)

Come tutti quelli che hanno studiato matematica, mi ritrovo sempre qualche appassionato di lotto o Superenalotto che mi chiede lumi sui numeri “ritardatari”. Il malinteso sui ritardatari è molto difficile da sfatare, perché si basa su affermazioni quasi-vere, che sono gli equivoci più difficili da correggere.

I sostenitori dei ritardatari fanno il seguente ragionamento: e' piu' difficile che un numero NON esca per 101 volte, piuttosto che non esca per 100 volte. C'e' una forma di verita' in questo?

La verita' e' che si', c'e' del vero in questo. Se calcoliamo le distribuzioni di Poisson per questa “assenza”, possiamo scoprire che (prendiamo il 32 come esempio):

Estrazioni consecutive senza il 32 Probabilità (approssimata) Formula Note Poisson
100 32.9% (89/90)^100 ≈ 0.329 Poisson: λ=100/90≈1.11, P(0)≈32.9%
101 32.3% (89/90)^101 ≈ 0.323 Poisson: λ=101/90≈1.12, P(0)≈32.3%
200 10.8% (89/90)^200 ≈ 0.108 Poisson: λ=200/90≈2.22, P(0)≈10.8%
201 10.6% (89/90)^201 ≈ 0.106 Poisson: λ=201/90≈2.23, P(0)≈10.6%
1000 0.0014% (89/90)^1000 ≈ 0.000014 Poisson: λ=1000/90≈11.11, P(0)≈0.0017%
1001 0.0013% (89/90)^1001 ≈ 0.000013 Poisson: λ=1001/90≈11.12, P(0)≈0.0016%

questo calcolo della distribuzione di Poisson, che e' corretto, e' la fonte dell'equivoco. Come vedete, le probabilita' che il 32 NON esca mano a mano che aumentiamo il numero di estrazioni , decresce rapidamente.

Questa e' l'origine dell'equivoco che produce la leggenda dei “ritardatari”.

Se pero' riguardiamo la tabella bene, scopriamo qualcosa di “controintuitivo” in questa distribuzione. In generale, le probabilita' che il 32 NON esca per tutte quelle volte di fila diminuiscono con l'ordine di grandezza, ma anche la differenza tra la n-esima e la (n+1)-esima... decrescono.

Interessante, no?

Perche' questo strano comportamento?

La cosa che avete dimenticato e' che le distribuzioni di Poisson NON si applicano su singoli eventi, ma sulla probabilita' di sequenze rare.

La distribuzione di Poisson, sulla quale intuitivamente avete basato la credenza dei ritardatari, risponde ad una domanda diversa.

Perche' questo? Perche' vi sta sfuggendo il concetto di “evento”. Se vogliamo che la probabilita' di poisson si applichi come se fosse un evento unico, DEVE essere un evento unico.

Allora, se prendiamo una grossa piscina di palline numerate fino a 90, e ne estraiamo 100 a caso in un colpo solo e le rovesciamo nell'erba a fianco, qual'e' la possibilita' che ci sia il 32? e con 200? e con 1000?

Numero di estrazioni (n) Probabilità che il 32 NON sia estratto Probabilità che il 32 sia estratto almeno una volta
100 (89/90)^100 ≈ 32.9% 1 – 32.9% = 67.1%
200 (89/90)^200 ≈ 10.8% 1 – 10.8% = 89.2%
1000 (89/90)^1000 ≈ 0.0017% 1 – 0.0017% = 99.9983%

Come vedete , se l'intera sequenza di n estrazioni FOSSE UN EVENTO UNICO, Poisson funzionerebbe come dite voi: o meglio, non potreste applicarlo, ma le probabilita' sarebbero simili e vi fornerebbero dei numeri consistenti con il caso di Poisson sulla sequenza.

Ma state dimenticando che 100 estrazioni NON sono un'unica estrazione di 100 numeri. Sono 100 eventi diversi. indipendenti tra loro.

La 51-esima estrazione , cioe', non ha modo di “sapere” che nella 50-esima non c'era il 32.

Qual'e' il punto , di preciso?

So che vi state ancora grattando la testa. Allora prendiamo l'ultimo esempio, per aggiungere un concetto. La probabilita' condizionata. Una probabilita' di un evento si dice “condizionata” quando dipende da un altro evento.

Per esempio, se la probabilita' di ammalarvi di influenza e' del 5% medio in tutta la nazione, ma il vostro gollega di scrivania e' ammalato , non e' piu' del 5%. LUI aveva il 5%, ma da quando lui si e' seduto accanto a voi, VOI avete piu' del 5%.

In questo caso si dice che la vostra probabilita' e' “condizionata”:

https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability

L'errore logico che state facendo con i ritardatari e' proprio questo, cioe' credere che la probabilita' di ogni uscita sia CONDIZIONATA dalle precedenti uscite.

Ed e' questo il punto: non potete applicare Poisson sulla prossima uscita, ovvero su una singola uscita, perche', non essendo un evento unico, la probabilita' di un'estrazione NON e' condizionata dalle altre, al contrario e' indipendente.

Quindi ripeto:

E siccome il vostro concetto di “ritardatario” non e' altro che un'euristica delle distribuzioni di Poisson, il sistema dei “ritardatari” non vi fara' mai diventare ricchi, perche' Poisson non si puo' applicare su un singolo evento indipendente.

Tuttavia, vi va riconosciuto che avete una percezione euristica delle distribuzioni di Poisson. Anche se non avete mai analizzato bene come funzionano.

Uriel Fanelli

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