luglio 30, 2023

Alieni a quattro dimensioni.

Ho avuto uno scambio di idee interessantissimo con alcuni appassionati di UFO , nel fediverso, che vorrei rappresentare qui perche' stato cosi' bello che mi sembra assurdo perderlo quando cancellero' i vecchi post. La domanda era: ma se gli alieni fossero esseri a 4 dimensioni spaziali, cosa succederebbe?

Attenzione, non ho detto "tre dimensioni piu' il tempo", come disse il vecchietto faceto che invento' la relativita'. Intendo quattro dimensioni spaziali. In matematica non c'e' alcun problema ad estendere il numero di dimensioni spaziali. Quella che chiamiamo "Geometria Euclidea" come la conosciamo e' uno Spazio di Hilbert a 3 dimensioni.

E gli spazi di Hilbert, in gometria, che per i matematici e' algebra, possono essere estesi a qualsiasi numero di dimensioni. Ovviamente, poi bisogna rassegnarsi alle regole del posto, nel senso che se portiamo le dimensioni all'infinito succedono cose divertentissime, ma anche negli spazi a quattro dimensioni le cose non sono facili subito.

La domanda era, dunque, se noi potremmo vedere (a prescindere dalla questione neurologica), nel senso piu' percettivo del termine, un alieno a 4 dimensioni. (In MIB ce n'era uno a 5, ma vi assicuro che quattro sono piu' che sufficienti a dare brutte sorprese, come vedremo).

Quindi, adesso proviamo a risolvere in maniera semplice, prima definiamo cosa ci serve per vedere in senso geometrico, poi ci alleniamo negli spazi che conosciamo (fino a tre dimensioni), e quando abbiamo riscaldato il cervello e capito come si procede, andiamo alle quattro dimensioni.

La mia sfida personale e' che non dovrebbe servire piu' della scuola superiore per capire.

Cosa ci serve per "vedere" qualcuno usando la vista? Diciamo che la luce procede in linea retta, e quindi ci serve una retta che vada da ogni punto della "cosa" (o almeno della sua superficie, ma vedremo la differenza dopo, e non e' banale) , ma diciamo che ci serve una retta che interschi sia un punto dell'occhio che l'oggetto geometrico.

Per comodita' diciamo che l'occhio sia un "punto focale", cosi' lo riduciamo ad un punto solo, e che la luce sia sempre una retta senza curve, deviazioni, rifrazioni, riflessioni, etc.

Siamo un bel giorno di sole e nell'aria di fronte a noi appare qualcosa. Lo vediamo?

"Vedere" necessita che questa retta intersechi sia il punto focale che l'oggetto, in uno o piu' punti.

Quindi e' un problema di intersezioni.

Cosa dice la geometria (cioe' l'algebra) sulle intersezionie sulle dimensioni? C'e' qualcosa che li lega? Cerrrrto che c'e'. Sembra complicato, ma non scappate che lo facciamo diventare semplice.

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_intersezioni_dimensionali

Cosa dice? Dice che se siamo in un mondo a n dimensioni, due oggetti hanno dimensioni p e q, la loro intersezione I ha dimensione I = p+q-n.

Cosi' com'e' sarete tentati di fuggire, cosi' ora ci facciamo un pochino di riscaldamento, alleniamo il cervello e quando siamo riusciti a capire la cosa, passiamo a 4 dimensioni.

Cominciamo l'allenamento.

Diamo per scontato di sapere che:

zero dimensioni sono un punto
una dimensione vuol dire una retta (una linea dritta)
due dimensioni vuol dire un piano (una superficie non curva)
tre dimensioni vuol dire un volume (un cubo )

Sono assunzioni comode, ma ci bastano per capire.

Cominciamo con un esempio semplice che tutti capiamo.

Dimensione 2

Due rette sul piano si incontrano sempre in un punto.

Allora abbiamo:

n = 2 (lo spazio in cui ci troviamo ha dimensione 2)
p = 1 (la prima retta ha dimensione 1)
q = 1 (la seconda retta ha dimensione 1)

I = p + q -n = 0

Quindi, le due rette si incontrano in uno spazio che ha dimensione zero. Un punto. Ma lo sappiamo gia'. In definitiva, se siamo su un piano e cambiamo angolo possiamo sempre vedere tutti i punti di una retta. Bene.

La prima retta, p, e' il raggio di luce che usiamo per "vedere".

Passiamo agli esempi in dimensione 3.

Dimensione 3

Possiamo vedere una retta in uno spazio 3d?

n = 3 (siamo in uno spazio 3d)
p = 1 (il nostro raggio di luce)
q = 1 (la retta che vogliamo vedere)

I = p +q - n, che fa 1.

Non solo possiamo vederla, ma sembra pure che le due rette si intersechino in una retta. Cosa vuol dire? Geometricamente questo "eccesso" significa che possiamo definire un piano unico usando due rette che si intersecano, questo "surplus" di dimensoni prendiamolo cosi'. Per ora.

Possiamo vedere una superficie in uno spazio 3D?

n = 3 (siamo in uno spazio 3d)
p = 1 (sempre un raggio li luce che va in linea retta)
q = 2 (il nostro piano)

I = p + q - n = 0

Quindi si, possiamo vedere ogni punto del nostro piano.

Possiamo vedere un volume in uno spazio 3D?

Qui state attenti a come finisce, e' cruciale.

n = 3 (siamo in uno spazio 3d)
p = 1 (sempre un raggio li luce che va in linea retta)
q = 3 (il nostro cubo)

Allora andiamo ad applicare il teorema:

I = p + q -n = -1

Porca zozza. Non possiamo vedere il cubo. E voi direte "ma che cazzo dici, io i cubi li vedo benissimo, e anche le cubiste!". Vero. Ma non e' vero. Quel "-1" significa che dovete togliere una dimensione ad n se volete davvero VEDERE il cubo, oppure , detta in modo diverso, significa che del cubo vedete solo n -1 dimensioni, cioe' una superficie.

In soldoni, voi non vedete il cubo: vedete la sua superficie rivolta a voi. Che ha due dimensioni. E guarda caso, n + I = 2.

Quando questo calcolo ci da' un numero negativo, allora dobbiamo togliere una dimensione per avere l'intersezione. Il nostro raggio di luce non colpisce il cubo, ma la sua superficie. Per questa ragione, noi NON possiamo vedere tutte le facce del cubo contemporaneamente, tantomeno il suo volume.

Possiamo immaginarlo, pensarlo, ma non vederlo.

Se infatti poteste "vedere" il cubo intero, con I a dimensione zero, vedreste il cubo cosi' :

La cubista sarebbe cosi' bizzarra che non vi dico. Ma questo e' anche fantastico, perche' significa che e' possibile una "carta 3:2", cioe' e' possibile rappresentare cose a tre dimensioni su un piano in due dimensioni. Lo fanno i pittori, i fotografi, eccetera. quello che fanno si chiama "spazio proiettivo".

https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_proiettivo

Siamo pronti a passare a quattro dimensioni.

Dimensione 4

Immaginate di svegliarvi domani in un mondo a quattro dimensioni. Aprite gli occhi, e?

Possiamo vedere una retta, in un mondo 4d?

n = 4 (ci siamo svegliati in un brutto posto)
p = 1 (i nostri occhi usano sempre raggi di luce)
q = 1 (c'e' una linea di fronte a noi)

I = p + q - n = - 2

Meno due e' un casino, perche' significa che possiamo vedere la retta solo se si trova sullo stesso piano bidimensionale del nostro occhio. Immaginate di avere un foglio di carta nel nostro mondo 3d, e di dire che da un punto del foglio di carta potete raggiungere la retta solo se il vostro occhio e' un punto dello stesso foglio. Da fuori, cioe' guardando il foglio, la retta non vi appare.

Ecco cosa succederebbe in un mondo 4d se cercaste di vedere una retta che non si trova sulla stessa superficie non curva ove si trova il vostro occhio. Cominciano a succedere cose strane.

O se preferite, in un mondo 4d due rette non si incontrano sempre. Si incontrano in condizioni particolarissime.

Possiamo vedere un piano, in un mondo 4d?

n = 4 (ci siamo svegliati in un brutto posto)
p = 1 (i nostri occhi usano sempre raggi di luce)
q = 2 (c'e' una superficie piana di fronte a noi)

I = p + q - n = - 1

Non possiamo sempre vederla. Possiamo vederla solo se siamo dentro un cubo tridimensionale insieme al piano. Cosi' come nel mondo a 3d possiamo esistere ma non siamo sempre sullo stesso piano del resto (esiste anche l'altezza), nel mondo 4d possiamo vedere qualcosa solo se siamo nello stesso volume.

Cioe': non sempre. E cosi' come in 3d vediamo solo la superficie del cubo, in 4d vedremmo solo un lato del piano. Vedremmo il piano come linea. Sempre di fianco, insomma. Ma questa linea non sarebbe quello che incontriamo in 3d. La vediamo come linea, ma e' una superficie, ovvero una linea con un'area, e non solo una lunghezza.

Sempre piu' bizzarro.

Possiamo vedere un cubo, in un mondo 4d?

n = 4 (ci siamo svegliati in un brutto posto)
p = 1 (i nostri occhi usano sempre raggi di luce)
q = 3 (c'e' un cubo di fronte a noi)

I = p + q - n = 0

Oh, fantastico. A quanto pare possiamo vedere il cubo. SENZA diminuire le dimensioni. Cioe' vediamo contemporaneamente tutte le facce. Come nell'immagine sopra. Non dobbiamo ridurre le dimensioni di nulla. L'intersezione col nostro raggio di luce e' un punto, in qualsiasi posto della superficie.

Tutto cio' che ha tre dimensioni ci appare "scuoiato" e aperto. Qui vediamo DAVVERO la superficie del cubo, tutta. Non solo quella rivolta a noi. Tutta e tutta insieme. E quindi ci appare cosi'.

Possiamo vedere un iper-cubo, in un mondo 4d?

Possiamo vedere l'alieno, se anche noi siamo nel suo mondo a 4d, usando il nostro consueto apparato oculare?

n = 4 (ci siamo svegliati in un brutto posto)
p = 1 (i nostri occhi usano sempre raggi di luce)
q = 4 (c'e' un iper-cubo di fronte a noi)

I = p + q - n = -1

No, non possiamo. Usando un senso che si basa sull'intersezione di una retta con qualcosa, non possiamo. Come nel caso del cubo a 3d quando noi siamo in 3d, possiamo solo vedere la superficie rivolta a noi. Nel caso del 3d, possiamo solo vedere i volumi rivolti a noi, che intersecano la retta che usiamo per vedere. Vedremmo un oggetto solido in 3d, e solo se si trova nello stesso cubo 3d ove siamo noi.

Il nostro cervello non sa immaginare mondi a 4d, quindi non andiamo oltre. Ma questo ci dice una cosa: uno scultore a 4 dimensioni potrebbe realizzare , in teoria, una scultura a 3 dimensioni che rappresenta un oggetto in 4d, cosi' come un pittore umano rappresenta in una tela un oggetto tridimensionale. Esiste quindi, nel mondo 4d, una "mappa 4:3", che non esiste da noi.

Ma sia chiaro: solo nel SUO mondo a 4d. Non da noi.

Chiarito come si ragiona, andiamo al problema vero. Noi siamo nel nostro spazio 3d, e improvvisamente qualcuno viene a farci visita. Come se noi andassimo a far visita ad un universo piatto, come su un foglio di carta.Vabe'.

Quindi noi saremmo nel nostro spazio 3d, l'oggetto avrebbe 4 dimensioni spaziali, e noi lo guardiamo. Cosa succede?

n = 3 (ci siamo svegliati nel nostro mondo consueto)
p = 1 (i nostri occhi usano sempre raggi di luce)
q = 4 (c'e' un iper-cubo di fronte a noi)

I = p + q - n = -2

Quindi per poterlo vedere dovremmo essere sulla stessa linea retta. Non sto dicendo di essere due disegnini su un foglio. Sto dicendo di essere due punti su una retta. Di quell' oggetto, cioe', vedremmo solo le linee non parallele al raggio di luce.

Il nostro raggio di luce, cioe', intercetta SOLO gli spigoli dell'ipercubo, le rette ove si incontrano le superfici.

Cosi' come vediamo solo le superfici di un cubo rivolte verso di noi, in questo caso vedremmo solo gli spigoli dell'ipercubo rivolti verso di noi. Lo spigolo in geometria 3d e' la linea ove si incontrano due facce del cubo. Da non confondersi coi vertici.).

Ma stiamo sbagliando. Stiamo dando per scontato che se due lati del cubo si intersecano in una retta, anche nel mondo 4d succeda lo stesso. Come sono fatti gli spigoli di un ipercubo? Come si intersecano due piani nel mondo 4d?

n = 4 (parliamo del mondo 4d)
p = 2 (una faccia/superficie dell'ipercubo)
q = 2 (una faccia/superficie dell'ipercubo)

I = p + q - n = 0

In quel mondo, due superfici si intersecano in un punto.

Quindi, quando l'alieno in 4d arriva da noi, noi vediamo solo dei puntini, che sono gli spigoli dell'ipercubo rivolti verso di noi. Sono le uniche cose che intersecano i nostri raggi luminosi. Da loro questi "punti" hanno una lunghezza come proprieta', quasi fossero rette, ma da noi sono puntini.

Cosa significa vedere molti puntini? Lo facciamo quando osserviamo un vapore quasi trasparente o un gas rarefatto ma colorato. Siccome siamo in un mondo 3d, se la luce mantiene le sue proprieta', tipo lo scattering e altro, potremmo vedere un'immagine diafana in aria. Ma forse.

Tutto bene? Una nuvoletta diafana?

No. Questo oggetto avrebbe delle capacita' strane.

Innanzitutto, potrebbe ruotare attorno ad un asse per noi inesistente. In questo caso lo vedremmo sparire nel nulla. Ma avrebbe un'altra capacita' incredibile.

Se vi mettete su una linea siete un punto. Potreste "vedere" un altro punto, a patto che non ci siano punti in mezzo. Se c'e' un punto tra i due, la luce del primo punto si ferma sul puntoi mezzo. Quindi sulla retta non possiamo vedere il terzo punto.

Se adesso dipingiamo su un piano questa identica situazione, e guardiamo da un punto fuori dalla retta, il limite topologico non esiste piu': un punto fuori dalla retta puo' vedere tutti i punti della retta.

Adesso prendiamo un piano. Ci disegnamo un quadrato, e dentro al quadrato ci mettiamo un punto. Se voi siete un punto fuori dal quadrato, ma sempre su quel piano, non potete guardare dentro il quadrato chiuso. La luce si fermera' sul perimetro del quadrato.

Ma se siamo esseri tridimensionali, possiamo vedere ogni cosa su un piano in 2d. Basta non essere su quel piano.

Adesso immaginiamo di essere chiusi dentro una stanza senza uscite. Nessun altro essere in 3d puo' vederci. La luce si ferma sui muri della stanza.

Ma un da un punto in 4d, a patto di non essere dentro la stanza, l'alieno non ha questo limite. Vede tutto. Per lui la stanza chiusa in 3d , che ci tiene prigionieri, e' aperta, come noi guardiamo un quadrato chiuso su un foglio.

Quindi, vedremmo un ogetto diafano, una specie di nuvoletta di gas trasparente ma visibile (come lo e' una nuvola o il fumo di una sigaretta), capace di entrare ed uscire da volumi chiusi, e capace di sparire all'improvviso.

Se un giorno degli alieni che vivono in una geometria 4d decidessero di farci visita, sara' meglio che chi li incontra non creda nei fantasmi.

LOL.