Covid-19 e caos.

La prima ondata del Covid-19 fu sottovalutata principalmente perche' i dati dei cinesi erano simili a quelli ricevuti dal Kremlino i primi giorni di Chernobyl: “va tutto bene”. Parlavano (e lo fanno ancora, peraltro) di una cosa che era poco piu' di un'influenza. E ancora (a leggere i loro numeri) si direbbe che il lockdown del 3% scarso della popolazione, avvenuto con due mesi di ritardo, abbia letteralmente vaccinato piu' di un miliardo di persone.

Ma adesso abbiamo piu' dati sulla sua propagazione , e possiamo cominciare ad andare oltre i grafici da terza media che si trovano sulla stampa. O meglio: possiamo cominciare ad aggiungere grafici piu' complessi.

Tradizionalmente, l'andamento del tempo di un'epidemia e' rappresentato da un modello che e' figlio del SIR. Il modello fa uso di tre esponenziali per modelizzare la famosa curva “che bisogna appiattire”.

SIR

Questo e' il modello usato sinora, e sin qui va sin troppo bene. Pero' spiega l'andamento generale , ma non spiega alcune peculiarita' dei dati “sul campo”. Per esempio:

Oscillazione

Come vedete, nell'andamento medio dell'infezione c'e' chiaramente una componente oscillante. Questa componente che oscilla e' chiaramente armonica, di periodo uno (anche se a volte ha periodo di due – il picco piu' piccolo che sta tra due picchi grandi ) , e secondo me andrebbe spiegato anche quello. Ma per spiegarlo occorre un altro modello, che sia equivalente al SIR per quanto riguarda l'andamento medio, ma anche capace di spiegare il periodo due.

Benvenuti nella teoria del caos. Oggi parliamo della Mappa Logistica.

fractal

La mappa logistica e' il frattale di un'equazione che e' del tutto equivalente al modello SIR, date le costanti adeguate.

E' un'equazione che si scrive in questo modo, come serie:

feigenbaum

La parte (1-x) non rappresenta altro che la componente del SIR che cala (per via dei morti o dei gia' infetti), X e' la percentuale (espressa come intervallo nei reali da 0 ad uno) di popolazione infetta. L'equazione logistica e' un modello demografico, esattamente come quello del SIR , che esprime la crescita non malthusiana della popolazione, ovvero la crescita di una popolazione in un ambiente a risorse limitate, che presenta un certo tasso di mortalita'. quello che nell'equazione logistica viene chiamato r, i biologi lo chiamano R0. (E' importante puntualizzarlo).

Come si legge la mappa biforcata sopra, e qual'e' la sua relazione con il SIR? Si tratta di una mappa, cioe' della proiezione dello spazio su se' stesso, e come tale non va letta come una time-series, cioe' come un andamento nel tempo.

Ogni punto della mappa rappresenta l'esito di un'epidemia. Significa che tutte le epidemie possibili (USA, Germania, Italia, etc) sono un punto di quel grafico. E se dividiamo un paese in parti, che so gli USA in stati, ogni risultato dell'epidemia sara' ancora un punto della stessa mappa).

Ogni punto e' un attrattore, che in termini semplici potremmo indicare come “l'effetto finale dell'epidemia”, o “dove l'epidemia vuole andare a parare”. Anche l'epidemia sotto lockdown e' un punto in questa mappa, perche' abbiamo diminuito la popolazione a rischio ma l'epidemia e' ancora li', eccetera: ogni sottoinsieme dell'epidemia e' ancora un punto nella mappa. Per questo si dice che e' un frattale: ogni sottoparte contiene ancora tutta la mappa.

Bene.

Torniamo alle oscillazioni. Abbiamo detto che si tratta di oscillazioni di periodo uno, cioe' che il sistema oscilla tra due valori, uno alto e uno basso. Bene.

In quale zona la mappa logistica oscilla tra due valori (non di piu' e non di meno?) . Si tratta della zona che vede r (la R0 dei biologi) compreso tra il valore di 3 e il valore di 3.47...

Ma abbiamo detto che la R0 “naturale” del coronavirus e' di 2.6, sinora. Ebbene, no. La stragrande maggioranza dei virus ha una R0 naturale di 2.6, ma a quanto ci dicono le oscillazioni a periodo 1, esiste una sottotribu' di quel virus che ha un R0 compreso tra 3 e 3.4.

Si tratta di una tribu' MENO numerosa, anzi si direbbe POCO numerosa, dal momento che rappresenta solo un'oscillazione (qualcuno direbbe un'armonica) della curva piu' grande.

Ma ha un R0 che va tra 3 e 3.4. Il che, in un'esponenziale, e' MOLTO piu' pericolosa di un 2.6.

Ma nelle ultime settimane e' comparso un periodo doppio. Un periodo doppio e' quello ove la curva oscilla tra 4 punti, con un picco piccolo seguito da un picco grande. Nella curva logistica la biforcazione a quattro punti compare per r=3.8 e corrisponde ad una situazione con quattro attrattori, cioe' le epidemie possono stabilizzarsi in quattro modi diversi.

Quindi, esiste un'altra ferocissima sottotribu' di coronavirus , ancora meno numerosa ma ancora piu' feroce della seconda.

Ora, forse voi vi sentirete confortati dal fatto che sinora si tratta di tribu' poco numerose. Ma la crescita di questi fenomeni e' esponenziale. Essere poco numerosi all'inizio significa poco.

Cosa ci dice questo sulla “seconda ondata”? Ci dice che sara' ancora piu' difficile appiattire la curva, e che la sua crescita sara' esplosiva, MOLTO piu' della prima ondata.

Queste sottotribu' sono meno numerose, ma crescono di numero in maniera molto piu' veloce, e parliamo di esponenziali.

Mi aspetto quindi , molto presto , una proliferazione esplosiva di queste due “sottotribu' ” di virus.

La curva logistica ovviamente non consente di dire se queste due tribu' oltre ad essere esplosive in termini di propagazione siano anche altrettanto letali. Sappiamo in linea di massima che i virus non beneficiano della morte dell'ospite , quindi siamo speranzosi che una evoluzione del virus porti anche ad una sua minore mortalita'.

Spero che sia cosi', perche' altrimenti la situazione diventera' pessima , piuttosto a breve.

A livello di speculazione, suppongo che vi sarete chiesti cosa fa un'epidemia che ha una r = 4. Perche' li' le biforcazioni sono davvero troppe, vero?

Esatto. Per r = 4 gli attrattori coprono il piano intero. Un virus che ha r = 4 sarebbe inarrestabile per quanto lockdown si faccia, in quanto avrebbe – ogni possibile capacita' di diffondersi . Si tratta di una situazione teorica (a meno che qualche biologo non conosca virus del genere, sono curioso) ma di fatto saremmo nella cacca forte, perche' non sarebbe possibile fermare l'epidemia, dal momento che il giorno dopo il numero di persone infette potrebbe essere... qualsiasi. Dallo 0% al 100% della popolazione, con la stessa probabilita'. (oltre il 4 il modello non e' piu' una mappa su [0,1] e diverge sempre, ma non e' interessante. Serve proprio un valore di 4)

Quindi no, superare il valore di 3.8 e' assai difficile (anche perche' come vedete nell'equazione logistica c'e' un tratto di stabilita' tra due valori molto divergenti e molto piu' grandi del valore medio), ma onestamente, un virus che ha una sottotribu' con R0 tra 3 e 3.4 ormai da maggio , e probabilmente un'altra con R0 a 3.8, e' sufficientemente preoccupante.

Se anche fosse poco mortale, vista la sua capacita' di infezione, persino il lockdown “italiano” avrebbe poche speranze di fermarlo. (qualche evoluzionista potrebbe dire che sia un adattamento al lockdown stesso, ma non ho strumenti teorici per dimostrarlo)

Di conseguenza , credo proprio di si: la “seconda ondata' ” e' certo, comparira' col primo freddo (che qui in Germania e' gia' arrivato, quindi secondo me ci siamo quasi) e sara' molto piu' veloce nel propagarsi rispetto alla prima.

“veloce” in termini esponenziali, comunemente detti “esplosione”.